Analys teori 1.

1.
Utförlig motivering för integralkalkylens huvudsats
för f kontinuerlig på [a,b] med delningspunkter på var sin plats

Sönderdela [a,b] i delintervall
f kontinuerlig på [x(k-1),x(k)], se vad ball

f antar då ett största och minsta värde
och f ligger däremellan, som Bernhard oss lärde

Det ger oss den till f och x s.k. under- och översumma
detta var integralkalkylens hela kardemumma

2.
Riemanns definition
gäller för en kontinuerlig funktion

f går från R till R på ett intervall a till b
och intervallet måste på definitionsmängden ske

Han hävdar att det finns precis ETT tal
och det ligger mellan alla under- och översummor och skrives som en integral

Detta kallas INTEGRAL AV f över intervallet [a,b]
tror du mig eller vill du se?

3.
Differenstialkalkylens medelvärdessats står näst på tur
f kontinuerlig på [a,b] och deiverbar på ]a,b[ i ur och skur

Det finns en punkt x(0),f(x(0)) vars tangent är parallell
med sekanten a,f(a) till b,f(b), som inte alltid är så snäll

Där f '(x(0)) är ett slags medelvärde för alla f av x
där x ligger mellan a och b och inte passar i Veras spex

Beviset går ut på att man subtraherar en linje
som är parallell med sekanten som då ska ge

En funktion g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)
då vet vi att g(a)=g(b) som är f av a

Om kurvan börjar och slutar i samma höjd
och om min är skilt från max, måste den även varit böjd

Om min är lika med max är g konstant
då g'(x(0))=0 i varje x(0)E]a,b[ likadant

Om du mig inte tror
hänvisar jag till Fermat, min bror

4.
Fermats kriterium
kommer få dig stum

Han påstår att f : R -> R antar i x-noll
ett lokalt extremvärde som spelar roll

Om f dessutom är deriverbar i x-noll
vet du att f '(x(0))=0, för alla er med koll

Det man även kan kommentera
och kanske också demostrera

Inre extrempunkt i vilken f är deriverbar är stationär
men omvändning gäller ej här

Alltså behöver inte en stationärpunkt vara deriverbar
därmed inte inre punkt den heller var

Anm. Extrempunkter behöver ej vara stationära (de MÅSTE)
f ej deriverbar, trots inre punkt i all sin ära
alternativt ej inre punkt med omgivning nära

För att förttydliga det hela
så du ska slippa vela

Stationär behöver ej vara extrem eller deriverbar
samt extrem ej deriverbar men ALLTID stationär
fråga nu aldrig var, hur och när!

5.
Viktigt, viktigt; jämförelsekriterium
är ett sant mysterium

Förutsättningen säger att f ligger mellan 0 och g (0<f<g)
för alla x tillhörande det öppna intervall a till b

Samt ska f och g båda vara
på det öppna intervallet a till b integrerbara

Observera extra noga; g är större än f
vilket snart kommer som ett ref

Först ska jag bara berätta
för att du ska förstå det enda rätta

En integral som är divergent
mot oändligheten dess kurva är sent

Om den däremot är konvergent
den någonstans har vänt (har gränsvärde)

Om f är divergent är g divergent
och om g är konvergent är f konvergent

Låter mer komplicerat och rörigt än det är
men sätt dig och begrunda och se och lär!